文章插图
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64..如图1,△PMN中,PM=PN,⊙O是△PMN的外接圆,Q为⊙O上一点,QM交PN于R,MN^2=PN×NR,S为△MNR的内心,若∠Q=30°,⊙O的半径为3+√3,求OS的长.
图1
分析 主要思路分三步
(1)由MN^2=PN×NR证明∠QMN=∠P=∠Q得底角为30°的等腰△NMQ;
(2)连ON,证S必在ON上;
(3)作ST⊥MN,在等边△OMN和含30°锐角Rt△SNT中,利用边角关系求出内切圆⊙S的半径,进而求出OS.
实际操作(如图2)
图2
第一步 MN^2=PN×NR
=>MN:PN=NR:MN
且∠MNR=∠PNM=>△MNR∽△PNM
=>∠NMR=∠NPM=∠Q= 30°
=>NQ=NM且N为弧QNM的中点;
第二步 连ON,N为弧QNM的中点
=>ON⊥QM,垂足为U,又NQ=NM
=>ON平分∠MNQ=>S在ON上;
第三步 连OM,作ST⊥MN,T为垂足,∠P= 30°
=>∠MON=60°且OM=ON
=>等边△MON=>OM=ON=MN=3+√3
=>Rt△MNU中,∠NMU=30°
=>NU=1/2MN=(3+√3)/2;
在Rt△NST中,∠NST=30°=>设ST=r,
则SU=r,NT=r/√3,NS=2NT= 2r/√3
NU=NS+SU=>(3+√3)/2=r+2r/√3
解得r=3(√3-1)/2=>NS=3-√3
OS=ON-NS=(3+√3)-(3-√3)=2√3.
反思
1.几何计算题都有夹叙夹议风格,兼具证明与计算,解答过程显得琐碎,因而书写过程要详略得当,突出关键细节 。本题中解答中S为什么在ON上是得分点之一,必须详细写出,但实际中学生很容易忽视而失分 。
2. 本题构图十分复杂,计算中要涉及7个三角形,分别是相似△MNR和△PNM,顶角为30°的等腰△PMN,底角为30°的等腰△NMQ,等边△MON,含30°的直角三角形NST和NMU需要较强的观察能力和综合能力 。
3. 建立方程求内切圆半径r,方程等量关系NU=NS+SU三条线段统一用r表示,在复杂的构图中发现线段间的数量关系并不容易,也需要较强的观察能力和综合能力 。
【三角形内切圆半径公式的推导 三角形外接圆半径公式推导】4. 建立方程求内切圆半径r,也可利用△NQM面积=内心分△NQM所得三个三角形面积之和建立方程来求r(过程略).
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