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什么叫切线
切线（读qiē xiàn的是一条刚好触曲线一点的直线。确地说，当切线曲线上的某点（切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的，此时，“切线在切点附近的部分”最接近“曲线在切点附近的部分”（无限逼近思想）。tangent在拉丁语中就是“to touch”的意思。类似的概念也可以推广到平面相切等概念中。
曲线切线和法线的几何定义
P和Q是曲线C上邻近的两点，P是定点，当Q点沿着曲线C无限地接近P点时，割线PQ的极限位置PT叫做曲线C在点P的切线，P点叫做切点；经过切点P并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线（无限逼近的思想）
说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线。
曲线切线和法线的代数定义
在高等数学中，对于一个函数，如果函数某处有导数,那么此处的导数就是过此处的切线的斜率，该点和斜率所构成的直线就为该函数的一个切线。
抛物线几何性质
1、平面内，到定点与定直线的相等的点的轨迹叫做抛中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
2、抛物线是指内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
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运用物理知识来解释，两点之间，为什么最速曲线比直线更快？
举例说明：将乒乓球放在高度一样的曲线轨道和直线轨道的起点，实验结果表明曲线轨道的球先达终点。曲线轨道上的球先达最高速，所以先到终点。连接起点和终点的是摆线，忽略其他因素，摆线是最速降线。
超出二维平面，曲线比直线短。地球是圆的，任何一点与另一点无法以直线的形式进行连接，想直线连接，必然沿切线的方向飞出去，很难连接一起。曲线连接，才是最短距离。两点之间直线最短只适用二维平面，脱离二维平面，两点之间直线最短就不在适用。此外，两点之间直线最短的结论理论上成立，实际生活不成立。不同维度的两点无法以直线的方式连接，用直线连接，距离就会相应的越远。同理，这种方法在理论正确，在实际是无法应用到实践的。
在斜面上，两条轨道，一条直线，一条曲线，起点高度与终点高度一样。质量、大小相同的小球同时从起点滑落，曲线小球先到终点。曲线小球先到终点是因为曲线轨道的球先达最高速，先达最高速就会先到达。
两点之间直线有且仅有一条，曲线有无数，那么，哪条才是最快？伽利略在1630年提出同样的问题，他认为应该是条直线，后来发现是错误的。1696年伯努利解决此问题，以此向其他数学家提出挑战。牛顿、莱布尼兹、洛比达、伯努利等科学家解决了解决了这个问题。这条最速曲线是摆线，科学上称为旋轮线。
伽利略在1630年提出分析学的问题：“质点在重力下，从定点到不在垂直下方的点，不计摩擦力，沿什么曲线所需时间是最短的。”曲线是圆，这是错误的。
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