n次根号下n的阶乘的极限是n趋于无穷大 。ε的任意性，正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度 。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N 。
【n的阶乘开n次方的极限】又因为ε是任意小的正数 ， 所以ε/2 、3ε、ε2等也都在任意小的正数范围 ， 因此可用它们的数值近似代替ε 。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数 。一般来说 ， N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性 。