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上一篇我们解了一道题目:
这一篇 , 我们把它搞复杂一点 , 给指数也增加一个变量 。
有同学表示 , 这回硬算都不行了 , 3.03次方什么鬼?
这回要用到偏导数和全微分来近似计算了 。
考查一下上面的式子 , 底数和指数上都有变量 , 那我们先构建基本函数式 , 并求偏导数:
将常数x=2 , y=3分别代入各自的偏导数 , 得:
那么 , 用它的全微分近似地求变化值 , 就得出了所求的值比2^3大多少 。
还有个对数 , 好尴尬!还好我们前面讲多项式展开的时候 , 正好解过ln2=0.69314 , 那就四舍五入直接拿来用了 , 于是:
所以 , 得:
用计算器校核一下 , 2.02^3.03≈8.42 , 误差0.01.
它的几何意义 , 就是曲面f(x , y)边缘在X轴和Y轴两个方向上的膨胀或收缩 。
再举一个有实物意义的例子 。有一个圆柱体 , 受压后变形 , 半径由30cm增大到30.05cm , 高度由100cm减少到99cm , 求圆柱体体积变化的近似值 。先构建基本函数式 , 并求偏导数:
取r=30 , h=100 , Δr=0.05 , Δh=-1 , 得:
【数学分析偏导数例题详解 偏导数题型总结】即该圆柱受压后 , 体积约减小了600π立方厘米 。
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