在三角形ABC中∠ACB＝90°∠CAD＝30°AC＝BC＝AD答案解析

如图,在三角形ABC中,∠ACB＝90°,∠CAD＝30°,AC＝BC＝AD,求证：CD＝BD

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[思路导航] 问题分析，要证线段相等，掌用的方法有：
证明角相等，三角形中等角对等边
证明所在的两个三角形全等
证明是线段垂直平分线上的点
三角函数值法
将已知标示如下：

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方法一、先从30°三角形入手、构造直角三角形利用相关条件证明
证明：如图，作CP⊥AD，DQ⊥BC，垂足分别为P、Q

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∵AC＝AD
∴∠ACD＝(180°－30°)/2=75°
又∵在Rt△PCA中∠CAP=30°
∴∠ACP＝60°
∴∠PCD=75°－60° ＝15°
∵∠ACB=90°
∴∠BCD=90°－75°＝15°
在Rt△PCD与Rt△QCD中
∠CPD＝∠CQD
∠PCD＝∠QCD
CD＝CD
∴Rt△PCD≌Rt△QCD（AAS）
∴CQ＝PC
∵∠CAD=30°
∴PC＝AC/2
又∵AC＝BC
∴CQ=BC/2
∴DQ是BC的垂直平分线
∴CD=BD
小结：此方法为从已知出发，根据等腰、直角、30°等条件构造特殊三角形。
方法二：结合题目中AC⊥BC，30°角，利用矩形知识，直接考虑证明D是线段BC垂直平分线上的点
证明：如图，过D作DN⊥BC，AM⊥AC，AM与ND延长线交于M

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∵∠ACB＝90°
DN⊥BC，AM⊥AC
∴四边形AMNC是矩形
∴MN//AC
CN＝AM
∵∠CAD＝30°
∴∠ADM＝30°
∵△AMD是 Rt△
∴AM＝AD/2
又∵AC=BC=AD
∴CN＝BC/2
∴MN是线段BC的垂直平分线
∴CD=BD
小结：向外作辅助线难度较大，当有直角三角形时，我们将它和对应的正方形（或矩形）联系起来思考，“补全图形”，如图（2）可以让”向外”的方法变得习惯起来。

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方法三：根据已知的”各角度数”向内作等边三角形构造全等
证明：如图，在△ACD内以CD为边，向内作等边△CDE

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在△AEC和△AED中
AC＝AD
AE＝AE
CE＝DE
∴△AEC≌△AED（SSS）
∴∠CAE＝∠DAE＝30°/2=15°
∵AC=AD
∴∠ACD＝(180°－30°)/2=75°
∵∠ECD=60°
∴∠ACE=75°－60°＝15°
∵∠ACB=90°
∴∠BCD=∠ACB－∠ACD -90°－75°＝15°
在△AEC和△BDC中
CE＝CD
∠ACE＝∠BCD
AC＝BC
∴△AEC≌△BDC（SAS）
∴∠CBD＝∠CAE＝15°
∴∠CBD＝∠BCD
∴CD＝BD

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【在三角形ABC中∠ACB＝90°∠CAD＝30°AC＝BC＝AD答案解析】小结：以已知线段为边作等边三角形也是几何题中常用的方法，当图形中出现一系列特殊角度时，我们可以考虑作等边（或等腰）三角形的方式，出现等角将已知和所求联系起来。