性质特点相关计算 正三棱锥的定义


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基本信息编辑
中文名
正三棱锥
外文名
regular triangular pyramid
特点
锥体中底面是等边三角形
定义
锥体中底面是正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥
性质
底面是等边三角形
底面中心
也是重心、垂心、外心、内心
正三棱锥编辑
底面是等边三角形的几何体
正三棱锥是锥体中底面是正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥 。正三棱锥不等同于正四面体,正四面体必须每个面都是全等的等边三角形 。
目录
1性质2相关计算
性质
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1.底面是等边三角形 。
2.侧面是三个全等的等腰三角形 。
3.顶点在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、外心、内心) 。
4.常构造以下四个直角三角形(见图):

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正三棱锥V-ABC
(1)斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形;(含侧棱与底边夹角)
(2)高、斜高、斜高射影构成的直角三角形;(含侧面与底面夹角)
(3)高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形;(含侧棱与底面夹角)
(4)斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形 。
说明:上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素 。在正三棱锥计算题中,常常取上述直角三角形 。其实质是,不仅使空间问题平面化,而且使平面问题三角化,还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中,利于解出 。
相关计算
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基本公式
h为底高(法线长度),A为底面面积,V为体积,L为斜高,C为棱锥底面周长有:三棱锥棱锥的侧面展开图是由4个三角形组成的,展开图的面积,就是棱锥的侧面积,则:(其中

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为第i个侧面的面积)

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三棱锥体积公式证明
如图,这是一个一般的三棱柱ABC-A’B’C’,它的体积可以分为三个等体积的三棱锥,即三棱锥C-A’AB,三棱锥C-A’B’B,三棱锥A’-CB’C’.因为三棱柱的侧面A’ABB’是平行四边形,所以

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,即其中三棱锥C-A’AB与三棱锥C-A’B’B的底面积相等,它们两个的顶点都是C,即C到它们底面的距离都相等,所以三棱锥C-A’AB与三棱锥C-A’B’B的体积相等 。而三棱锥C-A’B’B也可以看作是三棱锥A’-BCB’,且三棱锥A’-CB’C’与三棱锥A’-BCB’的底面积相等(即△BCB’与△B’C’C的面积相等),且它们两个的顶点都是A’,即A’到它们底面的距离都相等,所以三棱锥A’-CB’C’与三棱锥A’-BCB’的体积也相等,故三棱锥C-A’AB,三棱锥C-A’B’B,三棱锥A’-CB’C’的体积都相等,由此可见,一个三棱柱的体积等于三个等体积的三棱锥体积之和,即

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.
海伦秦九韶体积公式
已知三棱锥棱长求其体积的体积公式 。

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正三棱锥
任意一个三棱锥或者说四面体,其棱为a,b,c,d,e,f,其中a与d,b与e,c与f互为对边,那么有三棱锥(四面体)的体积公式为

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正四面体内切球心
内切球心在顶点与底面重心的连线的距底面

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相关计算:
因为正四面体底面为正三角形,所以斜高线位于任意顶点与底边中点连线,又三线合一,所以侧面重心位于高线距顶点

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处,即可算出顶点与重心(球与侧面切点)的距离,又知正三棱锥边长,即可根据勾股定理算出圆心所在直线(即顶点与底面重心的连线)的长度,即可算出底面与球心的距离(即内切球半径) 。
正四面体外接球心
外接球心在顶点与底面重心的连线的距顶点

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相关计算:
和计算内切球心一样算出圆心所在直线(即顶点与底面重心的连线)的长度,即可算出顶点与球心的距离(即外接球半径) 。
补充高考可能用到的数据(如图):

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正三棱锥
对于棱长为a的正四面体,有:
【性质特点相关计算 正三棱锥的定义】1、侧面高(斜高)为

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2、高为

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3、内切球半径

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4、外接球半径

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