辗转相除法原理辗转相除法原理证明 _知识经验

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1、你好?。。〔恢滥闶欠衲芸炊凑沂强床欢?。
2、欧几里得原理(辗转相除法)以及c语言的实现~!2006-07-14 11:26定义一任给两个整数a,b ，其中b≠0, 如果存在一个整数q使得等式 a=bq成立，则称b整除a,记作b|a。
3、此时称b为a的约数，a为b的倍数。
4、定理二设a,b是两个整数，其中b>0 ，则存在唯一的整数q及r，使得a=bq+r,0≤r 5、定义三设a1,a2,…,an 是n个不全为零的整数，若整数d是它们之中每一个数的约数，那么d就叫a1,a2,…,an一个公约数，整数a1,a2,…,an的公约数中最大的一个叫最大公约数，记作（a1,a2,…,an ），若（a1,a2,…,an ）=1，则称a1,a2,…,an 互素。
6、定理四若a|bc,(a,b)=1,则a|c.定理五（a1,a2,…,an ）=(（a1,a2,…,an-1 ）an).例:在中国古代就有一个很好的算法来计算a,b的最大公约数（a,b）,称为辗转相除法，在西方称为Euclid(欧几里得)算法。
【辗转相除法原理辗转相除法原理证明】7、下面通过计算（1397，2413）来阐述这一算法。
8、首先，我们用这两个数1397和2413中两个数中小的去除大的，得商为1，余数为1016 。
9、将原来两个数中大的2413扔掉，将1397作为大数，将余数1016作为新的小数。
10、重复上面的过程：用1016去除1397，得商为1，余数为381 。
11、扔掉1397，将381作为除数，1016作为被除数。
12、用381去除1016，得商为2余数为254 ，扔掉1016 ，用254 去除381，得商为1，余数为127，再扔掉381，用127去除254，发现能整除，于是127就是最大公约数。
13、整个计算过程为：2413=1397*1……1016 ， 1397=1016*1……381，1016=381*2……254，381=254*1……127 ， 254=127*2……0，所以（1397，2413）=127 。
14、为什么这样求出是就是最大公约数呢？下面对a,b为正整数（a>b）的情形给出说明。
15、根据定理二，商q和余r数满足a=bq+r,且0≤r ≤b-1.若r=0，显然（a,b）=b;若r≠0,由于a=bq+r，每个能整除b,r的整数都能整除a，当然能同时整除a,b,所以（b,r）|（a,b）;另一方面， r=a-bq，每个能整除a,b的整数都能整除r, 当然能同时整除b,r, 所以(a,b)|(b,r).因此（a,b）=(b,r). 辗转相除法进行一步后， b取代原来的a ，用r取代原来的b,最大公约数保持不变，因此我们的算法可以一直进行下去：a=bq1+r1,b=r1q2+r2,r1=r2q3+r3,…rk-3=rk-2qk-1+rk-1,rk-2=rk-1qk.一旦出现rk-2=rk-1qk（即rk=0）,则有rk-1=（rk-2，rk-1）=…=（r1，r2）=（b ， r1）=（a，b）.这个算法用c语言来实现源代码如下:#include void main(){ int a,b,m,n,temp,c,d; printf("请输入两个数字"); scanf("%d%d",&m,&n); d=m*n; while (temp) {a=m>n?m:n;b=m<=n?m:n;temp=a%b;m=temp;n=b; } printf("这两个数的最大公约数是%d",b); c=d/b; printf("这两个数的最小公倍数是%d",c);}(两个数的成积除以两个数的最大公约数就是这两个数的最小公倍数)还有什么不明白的地方再问我。
16、谢谢?。。?。
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