crush另外一种意思,数学上的“连续”的概念，怎么理解？ _crush另外一种意思

（连续性在《数学分析》中是非常有影响力一个概念，它不仅本身发挥着重要作用（例如：作为函数的三大特性：连续性、可微性、可积性，之一）而且与许多其它概念都有关联（例如：极限），所以，要搞清楚它着实需要花一些力气crush另外一种意思！这里，小石头准备用十个话题，将连续概念的全貌展现给大家，希望大家能喜欢！）

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连续就是一个接一个持续不间断之意。日常生活中的绳子、电源线、项链都是具有连续性质的事物，这些事物都是由一个个子对象组成，这些子对象排成一条线，对象之间没有间断。

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数字天然可以根据大小关系排成一条线，于是数字组成的集合——数集，就有了研究联系性的必要，这就引入我们今天讨论的第一个话题：实数的连续性。

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最初，人们认为：

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整数集 Z 是不连续的，因为在 0 和 1 之间，存在 1/2 将它们隔开；

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有理数集 Q 是连续的，因为 Q 具有稠密性：在任意两个不同的有理数之间，都存在无数个有理数；

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但是，后来随着√2 的发现，人们才知道有理数之间还存在无理数，因此有理数集 Q 不连续，而有理数 + 无理数组成的实数集 R 才是真正连续的。

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同时，人们还认识到稠密性 ≠ 连续性，我们需要重新寻找实数的连续性的定义！早期，人们将实数和直线上的点一一对应，而几何上，直线被定义为是连续的，因此与直线一一对应的实数集也是连续的，后来，经过漫长的岁月，数学家发现，对于某个数集 K，可以进行如下分割操作：

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K 的所有数字依从小到大，从左到右，在我们面前排成一条线。我们用刀去砍这条线，一刀下去，将一条线分为左右 A，B 两段，显然，A 和 B 满足条件：

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左半边 A 中的任意数字都小于右半边 B 中的任意数字

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称满足上面条件的这种分割操作，为戴德金分割，记为 A|B 。人们发现，因 K 是否连续，戴德金分割的结果有差异：

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如果 K 不连续，则这条线上存在缝隙，当刀刚好从某个缝隙点穿过时，分割的结果是：A 没有没有最大值并且 B 没有最小值；

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如果 K 连续，则这条线上不存在缝隙点，于是刀一定砍在某个点 x 上，又因为点不能被分割，于是刀要么从点 x 的左边穿过，这时 B 的最小值是 x，要么从点 x的右边穿过，这时 A 的最大值是 x；

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于是，大家就将上面的结论2 作为数集K的连续性定义。实数集 R 符合这个定义的要求而有理数集 Q 不满足，我们称实数为连续性系统，简称，连续统。

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不仅仅是直线，平面上的曲线也都是连续性的，而曲线又与实函数关联，于是，连续的概念就成为实函数的一个重要性质。那么，具体是如何在实函数上定义连续性呢？这就是我们这里要展开的第二个话题。

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一个实函数 f(x) 定义为实数集 R 的子集E 到实数集 R 的映射，记为,f: E → R (E ? R) 。我们要搞清楚整个函数 f(x) 的连续性，就要先搞清楚函数 f(x) 在定义域中的每一个点 x? 处的连续情况。

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首先，如果 x? 点不存在，即，x? ? E，则函数 f(x)在x? 点看上去的确是不连续，我们称这样的点 x? 为奇点。

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但是，这种不连续是定义域 E 的不连续引起的，它属于第一个话题讨论的数集E 的连续性，而非这里要讨论的函数 f 的连续性。函数既然是映射，那么其连续性应该体现为：保持连续性，即，

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将定义域 E 中的连续部分映射为值域 R 中连续的像集

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而对于E的不连续部分，由于根本没有机会体现 f 的连续性，同时也无法找到不连续的证据，所有我们只能默认这部分点在 f 上是连续的。

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接下来，我们先分析 E 中的连续部分中的点。

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设 E 中 x? 附近定义域局部是连续的，如果 f 在 x? 点是连续性，则根据保持连续性要求，f(x?) 附近的影像也应该是连续性。但是，事实上，函数值 f(x?) 可以与其右边、左边或两边的函数值断开，

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这些情况，都违反了保持连续性，因此这时函数 f(x) 在 x? 就是不连续的，我们称这样的点 x? 为 f(x) 的一个断点。而只有当函数值f(x?) 与其两边的函数值都连贯，

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才能说函数 f(x) 在 x? 连续，我们称这样的点 x? 为 f(x) 的一个连续点。
我们仔细观察，上面x? 左边连续、右边断开的情况，
就会发现：
由于左边连续，当 x 从左边无限逼近 x?点时，函数值 f(x) 也会无限逼近 f(x?)；
而因为右边断开，当 x 从右边无限逼近 x?点时，函数值 f(x)所无限逼近的值 A 和 f(x?) 之间相差断开的间距 b ，从而不相等；
我们称 x 从左边、右边或两边无限逼近 x?点时，函数值 f(x) 所无限逼近的值 A 为f(x) 在 x? 点的左极限、右极限或极限，分别记为：
也写成：
这里 x → x? 表示： x无限逼近 x? 点，方向没有限制；x?? 与 x??分别限制只从 x? 的左边与右边逼近。
则，根据上面的发现，函数 f(x) 在 x? 点连续，就意味着：f(x) 在 x? 点的极限是 f(x? )，即，
这就是，函数在点 x? 处连续的第一种定义。
接着，再考虑 E的不连续部分对于上面定义的影响。我们用 x → x? ∈ E 来表示在 E 内受 E 的制约下 x 无限逼近 x?，即，只有当E使得 x? 左（或右）连续时，从左（右）边逼近才被启用：
于是，上面的定义也相应修改为：
这样以来，E的不连续性被从 f(x) 的连续性中完全排除，f(x)的连续性只要保证E 中连续的部分保持连续就好了。例如，以下 E 中的不连续点对于 f(x) 都是连续的：
特别是 x? 这样的孤立点，使得既不能从左边逼近也不能从右边，于是逼近失去意义，它总是连续的！
最后，在函数 f(x) 关于点x? 连续性定义基础上，我们只要再定义：
如果一个函数 f(x)在每一个点 x? 处都是连续的，则称该函数f(x) 是连续函数。
前面的讨论说明极限和连续性是紧密相关的，因此我们有必要开启第三个话题，以通过进一步分析极限，来揭示连续性的根深层的内容。
上面极限定义中用箭头表示的 “无限逼近” ，仅仅是一种直觉概念，并不是明确的数学定义。这种早期的微积分漏洞，后来被数学家用ε-δ 语言补足。
对于任意极限 x → x?, f(x) → A，我们令，
δ = |x – x?|
则 δ 表示当前 x 逼近 x? 的逼近距离，由于无限逼近要求x ≠ x?，所以逼近距离δ = |x – x?| > 0 。
同理，可以令，
δ\’ = |f(x) – A| > 0
于是，极限 x → x?, f(x) → A，可以描述为：
当 x 到 x? 的逼近距离 δ 无限小时，f(x) 到 A 的逼近距离 δ\’ 也跟着无限小。
这里 δ\’的无限小，就意味着：
给定义任意 f(x) 到 A 的逼近距离 ε都存在（δ 导致下的）逼近距离 δ\’< ε 。
将这句话，翻译成数学语言，就是：
对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得满足 |x – x?| =ε 的点 x 有 |f(x) – A| < δ
这就是最初极限的 ε-δ 语言定义，但这个定义存在瑕疵，考虑下面的情况，
函数 f(x) = sin(1/x) 在逼近 x? = 0 时的值会不停在 -1 到 1 之间震荡，所以x? = 0 应该没有极限值才对。但是根据上面的定义，A = 0 却是 x? = 0 处的极限，因为：
对于任意的 ε> 0 ，总存在δ = 1/ π > 0，使得满足 |x – 0| = δ的 x = ±1/ π 有 |sin(1/x) – 0| = |sin(±π)| = 0 < ε
为了避免这种的情况发生，我们要求：
随着 δ 的减小δ\’ 是递减的，即，对于任意逼近距离小于 δ的逼近点 x，都有 f(x)到 A 的逼近距离小于 δ\’
翻译成数学语言，就是：
对于任意满足 0 < |x – x?| < δ 点 x 都有 |f(x) – A| < δ\’
用这个要求，修正前面的定义，最终 ε-δ 语言下极限的定义：
如果对于任意ε > 0，都存在 δ > 0，使得满足 0 < |x – x?| <δ 的点 x 都有 |f(x) – A| < ε，则称 A 是 f(x) 在 x? 点的极限。
对于，左极限或右极限，我们只需要在上面定义中，加入 x <x? 或 x > x? 的条件就可以了。
与极限类似，我们也可以用ε-δ 语言来描述前面的函数的一点连续性：
给定 f(x) 上的一点 x?，如果对于任意ε > 0，都存在 δ > 0，使得满足 |x – x?| <δ 的点 x 都有 |f(x) – f(x?)| < ε，则 f(x) 在 x? 点处连续。
这里允许 x = x? （区别于极限的定义）有两方面原因：
已经规定了 x?是 f(x) 上的点，即，x? ∈ E存在；
为了让孤立点是连续点。
到此为止，我们所讨论的函数连续性仅仅是对一元函数而言的，那么多元函数的连续性又是什么呢？在接下来的第四个话题中，我们来讨论这个问题。
一个 m 元函数记为 f: E → R (E ? R?)，其中，
称为 m 维欧氏（向量）空间，R1 = R 就是实数空间。
注意：这里变量的上标和变量的下标一样，表示序号。
也就是说，多元函数 f(x) = f(x1, x2, …, x?) 就是以向量 x = (x1, x2, …, x?) 为变量的函数。
设 x? = (x1?, x2?, …, x??) ∈ E，并且 x? 周围的定义域连续性。
我们，定义 x → x?为：
x1 → x1?, x2 → x2?, …,x? → x??
其中个变量的无限逼近是独立的，这保证了向量 x 可以从任何方向逼近向量 x?。
这样以来，前面一点连续的第一个定义中极限条件，对于多元函数，就解释为：
接着，我们在 R? 中定义向量 x 与 x? 之间的距离为：
| x – x?| = √[(x1 – x1?)2 + (x2 – x2?)2 + … + (x? – x??)2]
注意：这里 () 的上标表示指数。
这样以来，前面一元函数一点连续的 ε-δ 语言描述对于多元函数依然有效。
多元函数的连续性，依然是对 E 内部而言的，忽略 E 本身的不连续部分。
到这里，我们的升级并没有结束。既然向量可以作为函数的变量，那么就可以作为函数的值，这样的函数称为向量函数。
多元向量函数f: E → R? (E ? R?)，可以认为是 n 个 m元函数的向量，即，
f(x) = (f1(x), f2(x), …, f?(x))
于是，前面一点连续的第一个定义中极限条件，对于多元函数，就解释为：
而，上面已经定义了距离，故一点连续的 ε-δ 语言描述，对于多元向量函数也是无缝一致。
下面，以最简单的多元向量函数——复函数为例，来看看上面抽象讨论的具体面貌。
一个复函数，记为 f(z): C → C ，其中复平面 C 二维平面 R2 的扩展，具有 R2的完全性质。复函数可以写为：
f(z) = u(x, y) +iv(x, y)
它将一个复平面上的任意点 z? = x? + iy? 映射为另一个复平面上的点 f(z?) = u(x?, y?) +iv(x?, y?)，同时，将整个前一个复平面映射为后一个复平面的一部分。
点 z? 附近的连续或间断情况如下：
根据，前面讨论，无限逼近 z → z? 解释为 x→ x?, y →y? 。
极限连续条件：
在这里的意思是：z 从任意方向无限接近 z? 时，f(z) 都会无限接近f(z?)，解释为：
用ε-δ 语言描述为：
对于任意实数ε > 0，都存在实数 δ > 0，使得对于一切|z – z?| < δ 的复平面上的点 z 都有 |f(z) – f(z?)| < ε 。
其中，复数间距离定义为：
|z – z?| = √[(x – x?)2 + (y – y?)2]
前一个话题中，提到多元函数定义域 E 的连续性，我们并没有深究，其实这里是有问题的，在接下来的第五个话题中，我们来讨论这个。
首先，我们思考：一条线上缺失点，则这条线一定断开，不再连续，但，一个平面上缺失点，则只能说明这个平面有破洞，不再完整，不能说明平面不连续，更高维度的空间也是如平面一样。因此，对于任意维度空间 V，来说，我们用完整的概念来代替连续，称为空间 V 的完备性。可以认为，完备性是连续概念的升级，一维空间的完备性就是连续性。
其实，多元函数，也已经不仅仅局限是一条曲线了，它们可能是曲面或超曲面，其所谓连续性也只是表示曲面上没有破洞，即，完整之意，但为了兼容性，我们依然称之为函数连续性。
其次，我们第一个话题中讨论的数集 K 的连续性定义，默认要求 K 中元素是可以排除一条直线，而高维度的空间是平面或超平面，根本就不是直线，因此这个定义无法被完备性使用，我们需要重新寻找，一种新的方法，来判定空间中是否有点的缺失。
要判定空间 V 中某个点 A 是否缺失，我们首先要指向这个点处，前面极限的无限逼近是一个好的思路，
如果我们可以找到：一个函数 f: E → V（E ? R），当 x 无限逼近 x? 时，f(x)无限逼近某处，则
如果 V 在该处没有缺失，对应点 A，则 f(x) 在 x? 点的极限存在，就是 A；
如果 V 在该处缺失，则f(x) 在 x? 点没有极限；
如果，判别函数 f(x)是无限逼近某处呢？原来的ε-δ 语言下的判别标准：
对于任意ε > 0，都存在 δ > 0，使得满足 0 < |x – x?| <δ 的点 x 都有 |f(x) – A| < ε
显然不行，因为我们无法确定 A 点是否存在，不过我们可以对这个判别标准，进行修改：
对于任意ε > 0，都存在 δ > 0，使得满足 0 < |x – x?| <δ的任意两点 x = x?, x? 都有 |f(x?) – f(x?)| < ε
这个新判别标准，避免了 A 的出现，但又可以证明与原判别标准等价，堪称绝妙。
至此，我们就有了 V 完备性的一个粗糙条件，
任意一个在 x? 满足新判别标准函数 f(x): E → V，都在 x?处有极限
这个条件有些复杂，可以做进一步简化，我们固定 x? = ∞，让 E 为自然数集 N 并令，
a? = f(0), a? = f(1), ….,a_n = f(n), …
这样我们就将函数 f(x)转化为序列 a?, a?, ….，函数 f(x) 在 x? 处是否极限，转化为序列 a?, a?, …. 是否收敛。对于序列新判别标准也更简单：
对于任意ε > 0，都存在自然数 N ，使得任意自然数m, n > N 都有 |a_m – a_n| < ε
称，满足这个条件的序列为基本列。于是空间 V 完备性的最终定义为：
如果 V 中任意基本列都是收敛列，则称 V 是完备的。
这个定义，仅仅要求 V 中定义有距离 |a_m – a_n|，我们前面已经定义了欧氏空间 R? 中的距离，因此这个定义可以用于判断欧氏空间的子集 E 的完备性。
空间 V 中的距离，是 V 上的二元函数 d(x, y): V × V → R，它满足：
正定性：d(x, y) ≥ 0，d(x, x) = 0；
对称性：d(x, y) = d(y, x)；
三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, z)；
我们称定义有距离函数的空间 V 为距离空间，记为 (V, d) 。可以验证前面定义的距离满足上面的条件。
空间完备性定义，对于任意一个距离空间都适用。
注意：一个空间可以定义多种距离函数，例如 R? 中也可以这样定义距离：
d(x, x?) = |x1 – x1?| + |x2 – x2?| +… + |x? – x??|
上一个话题引入了距离空间的概念，如果我们回顾，前面多元向量函数的 ε-δ 语言所描述的连续性定义，就会发现，这个定义也仅仅依赖于距离。这说明，对于任意距离空间 (V, d?) 到 (W, d?) 的映射 f: V→ W，我们都可以定义其一点连续性为：
如果对于任意ε > 0，都存在 δ > 0，使得满足 d?(x, x?) <δ 的点 x 都有 d?(f(x) – f(x?)) < ε，则 f(x) 在 x? 点处连续。
这样我们就将函数的连续性推广为距离空间间映射的连续性。到这里，大家不禁会问：有没有比距离空间更一般的空间呢？如果有，这个空间上映射的连续性又是如何定义的呢？接下来的第六个话题，我们来讨论这个问题。
让我们回到最初，讨论实函数的地方！
对于实函数 f(x) 定义域 E 中的任意集合 U，定义 U 在 f 下的像为：
f(U) = {y : ? x ∈ U，f(x) = y}
然后，再仔细观察比较，f(x) 在 x? 点，两边断开的情况，
以及两边连贯的情况，
我们就会发现：
如果 x?是间断点，则存在真包括 f(x?) 的区域 V，对于任意真包括 x? 的区域 U 都无法使得 U 的像 f(U) 包含在 V 内；
如果x?是连续点，则对于任意真包括 f(x?) 的区域 V，都存在真包括 x? 的区域 U，使得 U 的像 f(U) 包含在 V 内，
其中，区域 U 真包括 x? ，的意思是： U 包括 x? 但不仅仅包括 x? 。
这里必须是真包括，因为，如果允许 U 只包括 x?，即，U = {x?} ，则 f(U) = {f(x?)} 显然包含于 V，于是，上面的发现1 就不成立了。
考虑包含 x? 的开区间 (a, b)，因为 a < x?，根据实数的稠密性，一定存在 x? 使得 a < x? < x?，故 (a, b) 一定不仅仅包括 x?，于是，要让 U 真包括 x?，我们只需要让 U 包括包含 x? 的开区间 (a, b) 就可以了。我们称包括 x? 的某个开区间的区域为 x? 的邻域。
对上面的发现2进行整理，我们就可以得到实函数一点连续的第二个定义：
如果对于任意 f(x?) 的邻域 V，都存在 x? 的邻域 U，使得 f(U) ? V，则称函数 f(x) 在 x? 点连续。
若，令 V = {y : |y – f(x?)| < ε}，U = { x: |x – x?| < δ }，则上面的定义其实就是第一个定义的 ε-δ 语言描述了。
对于多元向量函数，因为平面，超平面没有区间一说，所有，我们用开集代替开区间，重新定义邻域如下：
包括 x? 的某个开集的区域称为 x? 的邻域。
至此，这第二个定义，就可以无缝迁移到元向量函数上了。同样以前面的复函数 f(z) 为例，观察比较 z? 附近连续和间断的情况，
这与前面的发现完全一致。
这个全新的一点连续定义仅仅依赖邻域的概念，而邻域又是由开集来定义，所以任意集合只要在其中指定开集，我们就可以得到其上映射连续性了。
指定了开集的集合 X，被称为拓扑空间，如果用 τ 表示 X 中全体开集组成的子集族，则拓扑空间记为 (X,τ) 。开集是开区间的拓广概念，它需要满足如下条件：
全集 X 与空集 ? 都是开集；
任意多个开集的并依然是开集；
任意两个开集的交依然是开集；
我们，可以证明拓扑空间是比距离空间更广泛的空间。
拓扑空间之间的映射，称为拓扑映射，其一点连续性，由第二个定义提供。
至此，关于映射的一点连续性，基本上算是讨论清楚了，接下来的第七个话题，让我们来讨论一下映射整体连续性问题。
类似前面的连续函数概念，我们定义映射的整体连续性，如下：
如果映射 f在其定义域中每一点都连续，我们称 f 是连续映射。
这个定义依赖，一点连续性！其实，对于拓扑空间 (X, τ?) 到 (Y, τ?) 的拓扑映射 f: X → Y，我们也可以用开集来直接定义其整体连续性。
对于映射 f 的值域任意区域 V ? Y，定义 V在 X 中的原像为：
f?1(V) = {x ∈ X : f(x) ∈ V}
再回到最开始，观察比较，连续实函数与非连续实函数，
我们发现：
对于连续函数：任何开区间（开集） A 的原像 f?1(A) 依然是开区间（开集）；
对于非连续函数：存在开区间（开集） A 的原像 f?1(A) 不是开区间（开集）。
对上面的发现1，进行整理，我们就到如下关于拓扑映射整体连续性的定义：
如果拓扑映射 f，使得 Y 中的任意开集 A 的原像f?1(A) 依然是 X 的开集，
即，
? A ∈ τ? ? f?1(A) ∈ τ?
则称 f 为连续映射。
除此之外，我们将闭区间推广为闭集，定义如下：
开集关于全集X的补集，
然后，再根据进一步观察比较，闭集于上面的情况，
不难发现：
对于连续函数：任何闭区间（闭集） A 的原像 f?1(A) 依然是闭区间（闭集）；
对于非连续函数：存在闭区间（闭集） A 的原像 f?1(A) 不是闭区间（闭集），
这说明，我们将上面拓扑映射整体连续的定义中的开集替换为闭集后依然有效。
上面的整体连续性是基于一个一个点的，可以称为逐点连续，下面第八个话题，我们讨论另外一种整体连续性——一致连续。
考虑实函数 f: E → R (E ? R)，如果对于任意实数ε > 0，都存在实数 δ > 0，使得对于一切|x? – x?| < δ 的 x? 和 x? 都有 |f(x?) – f(x?)| < ε，我们就称 f 是一致连续的。
我们只要将 x? 替换为 x? 并固定，则上面的定义就是 x? 点连续的定义，然后再放开 x?，则上面的定义保证了每个 x? 处的连续性，进而，也就保证了逐点连续，因此一致连续的一定是逐点连续的。
但是反过来，逐点连续不一定是一致连续了。考虑前面那个函数 f(x) = sin(1/x)，我们令
E = (0, π]，x?= 1 /(kπ) ,x? =1/(kπ + π/2)，k 是自然数，
则有，
|x? – x?| = 1/[(2k + 1)kπ]
|f(x?) – f(x?)| = |sin(kπ) – sin(kπ + π/2)| = | 0 ± 1 | = 1
这样以来，对于存在实数 1 > ε > 0，对于任意δ > 0，由于 E 中的点 x? 和 x? 可以无限小，于是总是存在 k 使得|x? – x?| = 1/[(2k + 1)kπ] < δ ，但 |f(x?) – f(x?)| = 1 > ε 。这说明 f(x) = sin(1/x) 在 E 上不是一致连续的。
那么，什么情况下，逐点连续一定是一致连续呢？
由于 f 逐点连续，则意味着给定任意 ε > 0，对于每个 x? ∈ E，都存在 δ_x? > 0 使得满足 |x – x?| <δ_x? 的点 x 都有 |f(x) – f(x?)| < ε/2 。
令，V_x? = { x ∈ E :|x – x?| <δ_x?/2}，因为每个 x? ∈ E 都属于一个 V_x? 所以，
如果，能从 E 中找到有限 n 个 x?：x?1，x?2 , …, x?? 保证：
则，令
δ = min {δ_x?1, δ_x?2,…, δ_x?? } / 2
由于，每个 δ_x?? > 0，而 n 是有限的，所以 δ > 0 。
注意：这里必须保证 n 有限因为，当 n 无限时，即便是每个 δ_x?? > 0，它们的最小值依然可以为 0，例如：
min {1, 1/2,…, 1/n, … } = 0
对于任意满足|x? – x?| < δ 的 x? 和 x?，中必然有x? 属于某个 δ_x??，满足，
|x? – x??| < δ_x??/2
根据距离的三角不等式：
|a – b| ≤ |a – c| + | b – c|
有，
|x? – x??| ≤|x? – x?| + |x? – x??| < δ+δ_x??/2≤ δ_x??
由 |x? – x??| < δ_x??/2 < δ_x?? 与|x? – x??| < δ_x?? 分别可得到，
|f(x?) – f(x??)| < ε/2 与 |f(x?) – f(x??)| < ε/2
再次使用三角不等式，就得到：
|f(x?) – f(x?)| ≤ |f(x?) – f(x??)| + |f(x?) – f(x??)| < ε
这样，就推导出了一致连续。
在推导过程中，我们要求：
可以从 E 的任何一个开区间（开集）的覆盖（简称开覆盖） V = {V_x? : x? ∈ E}，E ? ∪V 中找到有限个元素的子集 W = {V_x?1, V_x?2,…, V_x??} ? V 依然是 E 的覆盖 E? ∪W 。
我们称满足上面要求的集合 E 为紧致的。
数学家证明了：任意闭区间都是紧致的！所以说，闭区间上的连续函数一定是一致连续的。
如果从新令 E = [π, 2π]，则 E 是一个闭区间，于是之上的连续函数f(x) = sin(1/x) 这会就变成一致连续的了。前面，由于 E 中的点 x? 和 x? 已经不可以无限小了，于是前面的反例也就不成立了。
不知不觉，已经到第九个话题，这里我们讨论与连续概念相关的间断和连通问题。
考虑实函数上 f 上任意一点 x? ，x? 与右（左）边断开，有两种情况，
x? 的右（左）极限存在，但不等于 f(x?)，这种断开称为第一类间断；
x? 的右（左）极限根本不存在，这种断开称为第二类间断；
设 x? 是间断点，如果 x? 只包含第一类间断的间断点，称 x? 为第一类间断点，否则称 x? 为第二类间断点。
如果第一类间断点的左极限 = 有极限，则称其为可去间断点。
单调函数如果有间断点则其必然是第一类间断点。
前面我们用完备性替换连续性来描述空间是否有漏洞问题，如果空间的漏洞如刀痕，则这些刀痕是有可能将整个空间分割的，这就牵扯到了空间的连通性问题。
对于一个拓扑空间 (X,τ) 可以有两个不同的连通：
如果 X 不能分割为两个不相交的开集的并集，即，
? A, B ∈τ ? A ∩ B = ? ∧ A∪ B = X
则，称 X 是连通的；
如果 X 中任意两点 x, y 都存在从 x 到 y 的道路，即，
? x, y ∈ X ?? r: [0, 1] → X ? r(0) = x ∧ r(1) = y
则，称 X 是道路连通的；
拓扑空间之间的连续映射 f: X → Y，可以保持连通性，即，如果 X 是连通的，则其在 Y 中的像 f(X) 也是连通的。连续映射也可以保持道路连通性以及前面的紧致性。这些可以被连续映射保持的性质，称为拓扑性质。
最后，在第十个话题，我们对以上讨论进行补充与总结。
首先，小石头将以上讨论中所提到的主要概念绘制成关系图如下，方便大家理清。
其次，前面提到的有理数（实数）的稠密性，与有理数在实数中稠密是两个概念。
我们说拓扑空间 X 的子集 A 在 X 中稠密，是指对于 X 中的每个点 x 都有 A 中的序列 a?, a?, …，收敛于 x（一般定义为： A 的闭包 ā = X）。
有理数在实数中是稠密，因为对于每个实数 x，
要么表示为有限小数，例如：x = 1/2 = 0.5，则，收敛于 x = 1/2 的序列就是 0.5, 0.5, …；
要么表示为无限循环小数，例如： x = 1/3 = 0.3?，则，收敛于 x = 1/3 的序列就是 0.3, 0.33, 0.333, …；
要么表示为无限不循环小数，例如： x = π = 3.14159?，则，收敛于 x = π的序列就是 3.1, 3.14, 3.141, …；
其三，连续性与可导性之间，靠极限关联。由于，f(x) 在 x? 点的导数定义为：
如果 f(x) 在 x?处不连续，则当 x 趋近 x? 时，|x – x?| 趋近 0 ，|f(x) – f(x?)| 不趋近 0，这导致 f’(x?) = ±∞ ，即，f(x) 在 x?处不可导。
以上结论的逆反命题，就是：
f(x) 在 x?处可导则 f(x) 必然在 x?处连续。
反之则不成立！大名鼎鼎的 Weierstrass 函数，就是处处连续处处不可导的极端例子。
其四，函数连续性可以在函数的代数运算上保持，即，连续函数的加减乘除依然是连续函数。微分，积分也可以保持函数连续性。逐点收敛的函数序列，也可以保持函数连续性（而函数上的可导性与可积性，则要求是一致收敛）。
函数连续性还有一些性质（包括在中值定理中的作用），这里篇幅有限无法再展开讨论了，以后有机会再说。
最后，以上讨论以理解概念为主，小石头几乎忽略了能够被省略的证明，如果大家对有些命题和定义有疑问，可以参考《数学分析》。
同时为了，让概念更容易理解，以上讨论也牺牲了严谨性，有写论述可能不是那么数学。
还有，小石头讨论所选的切入角度和推进方式，都是针对学《高等数学》的条友而设计的，如果你是学《数学分析》可能没有阅读的必要，如果你没有学过《高等数学》可能会引起不适合，请谨慎阅读。
【crush另外一种意思,数学上的“连续”的概念，怎么理解？】(小石头毕竟数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！)