千古之谜 武当山千古之谜


千古之谜 武当山千古之谜

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1、现代数论的创始人、法国大数学家费尔马(1601—1665),对不定方程极感兴趣,他在丢番图的《算术》这本书上写了不少注记 。
2、在第二卷问题8“给出一个平方数,把它表示为两个平方数的和”的那一页的空白处,他写道:“另一方面,一个立方不可能写成两个立方的和 , 一个四方不可能写成两个四方的和 。
3、一般地,每个大于2的幂不可能写成两个同次幂的和 。
4、”换句话说,在n>2时,xn+yn=zn(1)没有正整数 。
5、这就是举世闻名的费尔马大定理 。
6、“关于这个命题” , 费尔马说:“我有一个奇妙的证明,但这里的空白太小了,写不下 。
7、”人们始终未能找到弗尔马的“证明” 。
8、很多数学家攻克这座城堡,至今未能攻克 。
9、所以,费尔马大定理实际上是费尔马大猜测 。
10、人们在费尔马的书信与手稿中,只找到了关于方程x4+y4=z4(2)无正整数解的证明 , 恐怕他真正证明的“大定理”也就是这n=4的特殊情况 。
11、既然(2)无正整数解 , 那么方程x4k+y4k=z4k(3)无解(如果(3)有解,即有正整数x0,y0,z0使x04k+y04k=z04k(3)那么(x0k)4+(y0k)4=(z0k)4这与(2)无解矛盾!同理,我们只要证明对于奇素数P,不定方程xp+yp=zp(4)无正整数解,那么费尔马大定理成立(因为每个整数n>2,或者被4整除 , 或者有一个奇素数p是它的因数) 。
12、(4)的证明十分困难 。
13、在费尔马逝世以后90多年 , 欧拉迈出了第一步 。
14、他在1753年8月4日给哥德巴赫的信中宣称他证明了在p=3时,(4)无解 。
15、但他发现对p=3的证明与对n=4的证时截然不同 。
16、他认为一般的证明(即证明(4)对所有的素数p无正整数解)是十分遥远的 。
17、一位化名勒布朗的女数学家索菲·吉尔曼(1776—1831)为解费尔马大定理迈出了第二步 。
18、她的定理是:“如果不定方程x5+y5=z5有解,那么5|xyz 。
19、”人们习惯把方程(4)的讨论分成两种情况 。
【千古之谜 武当山千古之谜】20、即:如果方程xp+yp=zp无满足p|xyz的解,就说对于p,第一种情况的费尔马大定理成立 。
21、如果方程xp+yp=zp无满足p|xyz的解,就说对于p,第二种情况的费尔马大定理成立 。
22、因此 , 吉尔曼证明了p=5,第一种情况的费尔马大定理成立 。
23、她还证明了:如果p与2p+1都是奇素数 , 那么第一种情况的费尔马大定理成立 。
24、她还进一步证明了对于≤100的奇素数p,第一种情况的费尔马大定理成立 。
25、在欧拉解决p=3以后的90余年里,尽管许多数学家企图证明费尔马大定理 , 但成绩甚微 。
26、除吉尔曼的结果外,只解决了p=5与p=7的情况 。
27、攻克p=5的荣誉由两位数学家分享,一位是刚满20岁、初出茅庐的狄利克雷 , 另一位是年逾70已享盛名的勒仕德 。
28、他们分别在1825年9月和11月完成了这个证明 。
29、p=7是法国数学家拉梅在1839年证明的 。
30、这样对每个奇素数p逐一进行处理,难度越来越大,而且不能对所有的p解决费尔马大定理 。
31、有没有一种方法可以对所有的p或者至少对一批p,证明费尔马大定理成立呢?德国数学家库麦尔创立了一种新方法,用新的深刻的观点来看费尔马大定理 , 给一般情况的解决带来了希望 。
32、库麦尔利用理想理论,证明了对于p<100费尔马大定理成立 。
33、巴黎科学院为了表彰他的功绩,在1857年给他奖金3000法郎 。
34、库麦尔发现伯努列数与费尔马大定理有重要联系,他引进了正规素数的概念:如果素数p不整除B2,B4……Bp-3的分母,p就称为正规素数,如果p整除B2,B4……Bp-3中某一个的分母就称为非正规素数 。
35、例如5是正规数,因为B2的分母是6而5×6 。
36、7也是正规素数 , 因为B2的分母是6,B4的分母是30,而7×6,7×30 。
37、1850年,库麦尔证明了费尔马大定理对正规素数成立,这一下子证明了对一大批素数p,费尔马大定理成立 。
38、他发现在100以内只有37、59、67是非正规素数,在对这三个数进行特别处理后,他证明了对于p<100,费尔马大定理成立 。
39、正规素数到底有多少?库麦尔猜测有无限个,但这一猜测一直未能证明 。
40、有趣的是,1953年,卡利茨证明了非正规素数的个数是无限的 。
41、近年来,对费尔马大定理的研究取得了重大进展 。
42、1983年 , 西德的伐尔廷斯证明了“代数数域K上的(非退化的)曲线F(x,y)=0,在出格g>1时,至多有有限多个K点 。
43、”作为它的特殊情况,有理数域Q上的曲线xn+yn-1=0(5)在亏格g>1时,至多有有限多个有理点 。
44、这里亏格g是一个几何量,对于曲线(5),g可用g=(n-1)(n-2)2来计算,由(6)可知在n>3时,(5)的亏格大于1,因而至多有有限多个有理点(x , y)满足(5) 。
45、方程xn+yn=2n可以化成x2n+y4n-1=0改记x2,y2为(x,y),则(7)就变成(5) 。
46、因此由(5)只有有限多个有理数解x、y,立即得出(1)只有有限多个正整数解x、y、z,但这里把x、y、z与kx、ky、kz(k为正整数)算作同一组解 。
47、因此,即使费尔马大定理对某个n不成立,方程(7)有正整数解,但解也至多有有限组 。
48、1984年,艾德勒曼与希思布朗证明了第一种情况的费尔马大定理对无限多个p成立 。
49、他们的工作利用了福夫雷的一个重要结果:有无穷多个对素数p与q,满足q|p-1及q>p2/3个 。
50、而福夫雷的结果又建立在对克路斯特曼的一个新的估计上,后者引起了不少数论问题的突破 。
51、现在还不能肯定费尔马大定理一定正确 , 尽管经过几个世纪的努力 。
52、瓦格斯塔夫在1977年证明了对于p<125000,大定理成立 。
53、最近,罗寒进一步证明了对于p<4100万 , 大定理成立 。
54、但是,费尔马大定理仍然是个猜测 。
55、如果谁能举出一个反例,大定理就被推翻了 。
56、不过反例是很难举的 。
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